Czy jest możliwe wektoryzowanie rekurencyjnych obliczeń tablicy NumPy, gdzie każdy element zależy od poprzedniego?

2019 aktualizacja. Kod Numba zerwał z nową wersją numba. Zmiana dtype="float32" na dtype=np.float32 rozwiązała problem.

Wykonałem kilka benchmarków i w 2019 roku użycie Numba jest pierwszą opcją, którą ludzie powinni spróbować przyspieszyć funkcje rekurencyjne w Numpy (skorygowana propozycja Aronstef). Numba jest już preinstalowany w pakiecie Anaconda i ma jeden z najszybszych czasów (około 20 razy szybciej niż jakikolwiek Python). W 2019 Python obsługuje adnotacje @ numba bez dodatkowe kroki(co najmniej wersje 3.6, 3.7 i 3.8). Oto trzy benchmarki: wykonane w dniach 2019-12-05, 2018-10-20 i 2016-05-18.

I, jak wspomniał Jaffe, w 2018 roku nadal nie jest możliwe wektoryzowanie funkcji rekurencyjnych. Sprawdziłem wektoryzację przez Aronstefa i nie działa.

Benchmarki posortowane według czasu wykonania:

-------------------------------------------
|Variant        |2019-12 |2018-10 |2016-05 |
-------------------------------------------
|Pure C         |   na   |   na   | 2.75 ms|
|C extension    |   na   |   na   | 6.22 ms|
|Cython float32 | 0.55 ms| 1.01 ms|   na   |
|Cython float64 | 0.54 ms| 1.05 ms| 6.26 ms|
|Fortran f2py   | 4.65 ms|   na   | 6.78 ms|
|Numba float32  |73.0  ms| 2.81 ms|   na   |
|(Aronstef)     |        |        |        |
|Numba float32v2| 1.82 ms| 2.81 ms|   na   |
|Numba float64  |78.9  ms| 5.28 ms|   na   |
|Numba float64v2| 4.49 ms| 5.28 ms|   na   |
|Append to list |73.3  ms|48.2  ms|91.0  ms|
|Using a.item() |36.9  ms|58.3  ms|74.4  ms|
|np.fromiter()  |60.8  ms|60.0  ms|78.1  ms|
|Loop over Numpy|71.3  ms|71.9  ms|87.9  ms|
|(Jaffe)        |        |        |        |
|Loop over Numpy|74.6  ms|74.4  ms|   na   |
|(Aronstef)     |        |        |        |
-------------------------------------------

Odpowiedni kod znajduje się na końcu odpowiedzi.

Wydaje się, że z czasem Numba i Cython razy się lepiej. Teraz oba są szybsze niż Fortran f2py. Cython jest teraz szybszy 8.6 razy, a Numba 32bit jest szybszy 2.5 razy. Fortran był bardzo trudny do debugowania i kompilacji w 2016 roku. Więc teraz nie ma powodu, aby używać Fortran w ogóle.

Nie sprawdzałem Pure C i C extension w 2019 i 2018, ponieważ nie jest łatwo je skompilować w notebookach Jupyter.

Processor: Intel i5-9600K 3.70GHz
Versions:
Python:  3.8.0
Numba:  0.46.0
Cython: 0.29.14
Numpy:  1.17.4

Processor: Intel i7-7500U 2.7GHz
Versions:
Python:  3.7.0
Numba:  0.39.0
Cython: 0.28.5
Numpy:  1.15.1

Zalecane Numba kod za pomocą float32 (skorygowany Aronstef):

@numba.jit("float32[:](float32[:], float32[:])", nopython=True, nogil=True)
def calc_py_jit32v2(Tm_, tau_):
    tt = np.empty(len(Tm_),dtype=np.float32)
    tt[0] = Tm_[0]
    for i in range(1, len(Tm_)):
        tt[i] = Tm_[i] - (tt[i-1] + Tm_[i])**(-tau_[i])
    return tt[1:]

Cały inny kod:

Tworzenie danych (jak Aronstef + Mike T comment):

np.random.seed(0)
n = 100000
Tm = np.cumsum(np.random.uniform(0.1, 1, size=n).astype('float64'))
tau = np.random.uniform(-1, 0, size=n).astype('float64')
ar = np.column_stack([Tm,tau])
Tm32 = Tm.astype('float32')
tau32 = tau.astype('float32')
Tm_l = list(Tm)
tau_l = list(tau)

Kod w 2016 był nieco inny, ponieważ użyłem funkcji abs () do zapobiegania nansom, a nie wariantu Mike ' a T. w 2018 funkcja jest dokładnie taka sama, jak napisał OP (Original Poster).

Cython float32 używając magii Jupyter %%. Funkcja może być używana bezpośrednio w Python. Cython potrzebuje C++ kompilator, w którym został skompilowany Python. Instalacja właściwej wersji kompilatora Visual C++ (Dla Windows) może być problematyczna:

%%cython

import cython
import numpy as np
cimport numpy as np
from numpy cimport ndarray

cdef extern from "math.h":
    np.float32_t exp(np.float32_t m)

@cython.boundscheck(False)
@cython.wraparound(False)
@cython.infer_types(True)
@cython.initializedcheck(False)

def cy_loop32(np.float32_t[:] Tm,np.float32_t[:] tau,int alen):
    cdef np.float32_t[:] T=np.empty(alen, dtype=np.float32)
    cdef int i
    T[0]=0.0
    for i in range(1,alen):
        T[i] = Tm[i] + (T[i-1] - Tm[i])**(-tau[i])
    return T

Cython float64 używając magii Jupyter %%. Funkcja może być użyta bezpośrednio w Python:

%%cython

cdef extern from "math.h":
    double exp(double m)
import cython
import numpy as np
cimport numpy as np
from numpy cimport ndarray

@cython.boundscheck(False)
@cython.wraparound(False)
@cython.infer_types(True)
@cython.initializedcheck(False)

def cy_loop(double[:] Tm,double[:] tau,int alen):
    cdef double[:] T=np.empty(alen)
    cdef int i
    T[0]=0.0
    for i in range(1,alen):
        T[i] = Tm[i] + (T[i-1] - Tm[i])**(-tau[i])
    return T

Numba float64:

@numba.jit("float64[:](float64[:], float64[:])", nopython=False, nogil=True)
def calc_py_jitv2(Tm_, tau_):
    tt = np.empty(len(Tm_),dtype=np.float64)
    tt[0] = Tm_[0]
    for i in range(1, len(Tm_)):
        tt[i] = Tm_[i] - (tt[i-1] + Tm_[i])**(-tau_[i])
    return tt[1:]

Dołącz do listy . Najszybsze nie skompilowane rozwiązanie:

def rec_py_loop(Tm,tau,alen):
     T = [Tm[0]]
     for i in range(1,alen):
        T.append(Tm[i] - (T[i-1] + Tm[i])**(-tau[i]))
     return np.array(T)

Za pomocą a. przedmiot():

def rec_numpy_loop_item(Tm_,tau_):
    n_ = len(Tm_)
    tt=np.empty(n_)
    Ti=tt.item
    Tis=tt.itemset
    Tmi=Tm_.item
    taui=tau_.item
    Tis(0,Tm_[0])
    for i in range(1,n_):
        Tis(i,Tmi(i) - (Ti(i-1) + Tmi(i))**(-taui(i)))
    return tt[1:]

Np.fromiter():

def it(Tm,tau):
    T=Tm[0]
    i=0
    while True:
        yield T
        i+=1
        T=Tm[i] - (T + Tm[i])**(-tau[i])

def rec_numpy_iter(Tm,tau,alen):
    return np.fromiter(it(Tm,tau), np.float64, alen)[1:]

Loop over Numpy (na podstawie pomysłu Jaffe ' a):

def rec_numpy_loop(Tm,tau,alen):
    tt=np.empty(alen)
    tt[0]=Tm[0]
    for i in range(1,alen):
        tt[i] = Tm[i] - (tt[i-1] + Tm[i])**(-tau[i])
    return tt[1:]

Loop over Numpy (kod Aronstefa). na moim komputerze float64 jest domyślnym typem dla np.empty.

def calc_py(Tm_, tau_):
    tt = np.empty(len(Tm_),dtype="float64")
    tt[0] = Tm_[0]
    for i in range(1, len(Tm_)):
        tt[i] = (Tm_[i] - (tt[i-1] + Tm_[i])**(-tau_[i]))
    return tt[1:]

Czysty C bez użycia Python w ogóle. Wersja z roku 2016 (z funkcją fabs ()):

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <windows.h>
#include <sys\timeb.h> 

double randn() {
    double u = rand();
    if (u > 0.5) {
        return sqrt(-1.57079632679*log(1.0 - pow(2.0 * u - 1, 2)));
    }
    else {
        return -sqrt(-1.57079632679*log(1.0 - pow(1 - 2.0 * u,2)));
    }
}
void rec_pure_c(double *Tm, double *tau, int alen, double *T)
{

    for (int i = 1; i < alen; i++)
    {
        T[i] = Tm[i] + pow(fabs(T[i - 1] - Tm[i]), (-tau[i]));
    }
}

int main() {
    int N = 100000;
    double *Tm= calloc(N, sizeof *Tm);
    double *tau = calloc(N, sizeof *tau);
    double *T = calloc(N, sizeof *T);
    double time = 0;
    double sumtime = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        Tm[i] = randn();
        tau[i] = randn();
    }

    LARGE_INTEGER StartingTime, EndingTime, ElapsedMicroseconds;
    LARGE_INTEGER Frequency;
    for (int j = 0; j < 1000; j++)
    {
        for (int i = 0; i < 3; i++)
        {
            QueryPerformanceFrequency(&Frequency);
            QueryPerformanceCounter(&StartingTime);

            rec_pure_c(Tm, tau, N, T);

            QueryPerformanceCounter(&EndingTime);
            ElapsedMicroseconds.QuadPart = EndingTime.QuadPart - StartingTime.QuadPart;
            ElapsedMicroseconds.QuadPart *= 1000000;
            ElapsedMicroseconds.QuadPart /= Frequency.QuadPart;
            if (i == 0)
                time = (double)ElapsedMicroseconds.QuadPart / 1000;
            else {
                if (time > (double)ElapsedMicroseconds.QuadPart / 1000)
                    time = (double)ElapsedMicroseconds.QuadPart / 1000;
            }
        }
        sumtime += time;
    }
    printf("1000 loops,best of 3: %.3f ms per loop\n",sumtime/1000);

    free(Tm);
    free(tau);
    free(T);
}

Fortran f2py. funkcja może być używana z Python. Wersja z roku 2016 (z abs() funkcja):

subroutine rec_fortran(tm,tau,alen,result)
    integer*8, intent(in) :: alen
    real*8, dimension(alen), intent(in) :: tm
    real*8, dimension(alen), intent(in) :: tau
    real*8, dimension(alen) :: res
    real*8, dimension(alen), intent(out) :: result

    res(1)=0
    do i=2,alen
        res(i) = tm(i) + (abs(res(i-1) - tm(i)))**(-tau(i))
    end do
    result=res    
end subroutine rec_fortran

Aktualizacja: 21-10-2018 Poprawiłem swoją odpowiedź na podstawie komentarzy.

Możliwe jest wektoryzowanie operacji na wektorach, o ile obliczenia nie są rekurencyjne. Ponieważ operacja rekurencyjna zależy od poprzedniej obliczonej wartości, nie jest możliwe równoległe przetwarzanie operacji. Nie działa to zatem:

def calc_vect(Tm_, tau_):
    return Tm_[1:] - (Tm_[:-1] + Tm_[1:]) ** (-tau_[1:])

Ponieważ (przetwarzanie seryjne / pętla) jest konieczne, najlepszą wydajność uzyskuje się poprzez jak najbliżej zoptymalizowanego kodu maszynowego, dlatego Numba i Cython są najlepsze odpowiedzi tutaj.

Podejście Numba można osiągnąć w następujący sposób:

init_string = """
from math import pow
import numpy as np
from numba import jit, float32

np.random.seed(0)
n = 100000
Tm = np.cumsum(np.random.uniform(0.1, 1, size=n).astype('float32'))
tau = np.random.uniform(-1, 0, size=n).astype('float32')

def calc_python(Tm_, tau_):
 tt = np.empty(len(Tm_))
 tt[0] = Tm_[0]
 for i in range(1, len(Tm_)):
     tt[i] = Tm_[i] - pow(tt[i-1] + Tm_[i], -tau_[i])
 return tt

@jit(float32[:](float32[:], float32[:]), nopython=False, nogil=True)
def calc_numba(Tm_, tau_):
  tt = np.empty(len(Tm_))
  tt[0] = Tm_[0]
  for i in range(1, len(Tm_)):
      tt[i] = Tm_[i] - pow(tt[i-1] + Tm_[i], -tau_[i])
  return tt
"""

import timeit
py_time = timeit.timeit('calc_python(Tm, tau)', init_string, number=100)
numba_time = timeit.timeit('calc_numba(Tm, tau)', init_string, number=100)
print("Python Solution: {}".format(py_time))
print("Numba Soltution: {}".format(numba_time))

Timeit Porównanie funkcji Pythona i Numba:

Python Solution: 54.58057559299999
Numba Soltution: 1.1389029540000024

Aby bazować na odpowiedzi NPE, zgadzam się, że gdzieś musi być pętla. Być może twoim celem jest uniknięcie kosztów związanych z pętlą Python for? W takim razie, numpy.fromiter nie przebija pętli for, ale tylko trochę:

Używając bardzo prostej relacji rekurencyjnej,

x[i+1] = x[i] + 0.1

I get

#FOR LOOP
def loopit(n):
     x = [0.0]
     for i in range(n-1): x.append(x[-1] + 0.1)
     return np.array(x)

#FROMITER
#define an iterator (a better way probably exists -- I'm a novice)
def it():
     x = 0.0
     while True:
         yield x
         x += 0.1

#use the iterator with np.fromiter
def fi_it(n):
     return np.fromiter(it(), np.float, n)

%timeit -n 100 loopit(100000)
#100 loops, best of 3: 31.7 ms per loop

%timeit -n 100 fi_it(100000)
#100 loops, best of 3: 18.6 ms per loop

def loopit(n):
     x = np.zeros(n)
     for i in range(n-1): x[i+1] = x[i] + 0.1
     return x

%timeit -n 100 loopit(100000)
#100 loops, best of 3: 50.1 ms per loop

To dobre pytanie. Jestem również zainteresowany, czy jest to możliwe, ale do tej pory nie znalazłem sposobu, aby to zrobić, z wyjątkiem niektórych prostych przypadkach.

Wariant 1. numpy.ufunc.accumulate

Wydaje się to obiecującą opcją, o której wspomniał @ Karl Knechtel. Musisz stworzyć ufunc najpierw. niniejsza strona wyjaśnia jak.

W prostym przypadku funkcji powtarzającej, która przyjmuje dwa Skalary jako wejście i wyjście jednego skalera, wydaje się, że praca:

import numpy as np

def test_add(x, data):
    return x + data

assert test_add(1, 2) == 3
assert test_add(2, 3) == 5

# Make a Numpy ufunc from my test_add function
test_add_ufunc = np.frompyfunc(test_add, 2, 1)

assert test_add_ufunc(1, 2) == 3
assert test_add_ufunc(2, 3) == 5
assert np.all(test_add_ufunc([1, 2], [2, 3]) == [3, 5])

data_sequence = np.array([1, 2, 3, 4])
f_out = test_add_ufunc.accumulate(data_sequence, dtype=object)
assert np.array_equal(f_out, [1, 3, 6, 10])

[zwróć uwagę na argument dtype=object, który jest niezbędny, jak wyjaśniono na stronie linkowanej powyżej].

Ale w Twoim przypadku (i moim) chcemy obliczyć równanie powtarzające, które ma więcej niż jedno wejście danych(i potencjalnie więcej niż jedną zmienną stanu).

Kiedy próbowałem tego użyć ufunc.accumulate podejście powyżej dostałem ValueError: accumulate only supported for binary functions.

Opcja 2. Budulec Pythona function

W międzyczasie, to rozwiązanie nie do końca osiąga to, co chciałeś pod względem wektoryzowanych obliczeń w numpy, ale przynajmniej unika pętli for.

from itertools import accumulate, chain


def t_next(t, data):
    Tm, tau = data  # Unpack more than one data input
    return Tm + (t - Tm)**tau

assert t_next(2, (0.38, 0)) == 1.38

t0 = 2  # Initial t
Tm_values = np.array([0.38, 0.88, 0.56, 0.67, 0.45, 0.98, 0.58, 0.72, 0.92, 0.82])
tau_values = np.linspace(0, 0.9, 10)

# Combine the input data into a 2D array
data_sequence = np.vstack([Tm_values, tau_values]).T
t_out = np.fromiter(accumulate(chain([t0], data_sequence), t_next), dtype=float)
print(t_out)
# [2.         1.38       1.81303299 1.60614649 1.65039964 1.52579703
#  1.71878078 1.66109554 1.67839293 1.72152195 1.73091672]

# Slightly more readable version possible in Python 3.8+
t_out = np.fromiter(accumulate(data_sequence, t_next, initial=t0), dtype=float)
print(t_out)
# [2.         1.38       1.81303299 1.60614649 1.65039964 1.52579703
#  1.71878078 1.66109554 1.67839293 1.72152195 1.73091672]