Jednostki transformaty Fouriera (FFT) podczas wykonywania analizy widmowej sygnału

Oś y jest złożona(w przeciwieństwie do rzeczywistej). Wielkość to Amplituda oryginalnego sygnału w jednostkach, w których znajdowały się oryginalne próbki. Kąt jest fazą tego składnika częstotliwości.

Oto co udało mi się do tej pory wymyślić:

Oś y wydaje się być prawdopodobnie w jednostkach [energii / Hz]!?

Oto jak to wyprowadzam (opinie mile widziane!):

1. Sygnał v(t) jest w woltach

2. Tak więc po przyjęciu całki Fouriera: integral e^iwt v (t) dt, powinniśmy mieć jednostki [woltów * sekund] lub [woltów / Hz] (e^iwt jest bez jednostek)

3. Biorąc wielkość do kwadratu należy wówczas podać jednostki [woltów^2 * s^2], lub [v^2 * s / Hz]

4. Wiemy, że moc jest proporcjonalna do woltów ^2, więc to prowadzi nas do [Moc * s / Hz]

5. Ale moc to czasowa szybkość zmiany energii, tzn. moc = energia / s, Więc możemy również zapisać Energy = power * s

6. Pozostawia nam to wniosek kandydata [Energia / Hz]. (Dżule / Hz ?!)

... co sugeruje znaczenie "zawartość energii na Hz" i sugeruje jako zastosowanie integrowanie pasm częstotliwości i widzenie zawartość energii... co byłoby bardzo miłe, gdyby to była prawda...

Ciąg dalszy... zakładając, że powyższe jest poprawne, mamy do czynienia z pomiarem energii, więc sugerowałoby to użycie konwersji 10log10, aby dostać się do skali dB, zamiast 20log10...

...

Moc do rezystora wynosi v^2/R watów. Moc sygnału {[1] } jest abstrakcją mocy na rezystor 1 Ohm. Dlatego moc sygnału x(t) wynosi x^2 (zwana także mocą chwilową), niezależnie od jednostek fizycznych x(t).

Na przykład, jeśli x(t) to Temperatura, a jednostki {[1] } to stopnie C, to jednostki mocy x^2 x(t) to C^2, z pewnością nie waty.

Jeśli weźmiesz transformatę Fouriera z x(t), Aby uzyskać X(jw), następnie jednostki X(jw) to C*sec lub C/Hz (zgodnie z całką transformaty Fouriera). Jeśli używasz (abs(X(jw)))^2, to jednostkami są C^2*sec^2=C^2*sec/Hz. Ponieważ jednostki mocy to C^2, a jednostki energii to C^2*sec, to abs(X(jw)))^2 daje gęstość widmową energii, powiedzmy E/Hz. Jest to zgodne z twierdzeniem Parsevala, gdzie energia x(t) jest dana przez (1/2*pi) razy całkę abs(X(jw)))^2 w odniesieniu do w, tj. (1/2*pi)*int(abs(X(jw)))^2*dw) > (1/2*pi)*(C^2*sec^2)*2*pi*Hz > (1/2*pi)*(C^2*sec/Hz)*2*pi*Hz > E.

Konwersja na skalę dB (log scale) nie zmienia jednostki.

Jeśli weźmiesz FFT próbek x(t), zapisanych jako x(n), aby uzyskać X(k), to wynik X(k) jest oszacowaniem współczynników szeregów Fouriera funkcji okresowej, gdzie jeden okres nad T0 sekund jest segmentem x(t), który został pobrany. Jeśli jednostki x(t) są stopniami C, to jednostki X(k) są również stopniami C. Jednostki abs(X(k))^2 to C^2, które są jednostkami mocy. Tak więc Wykres abs(X(k))^2 versus frequency pokazuje widmo mocy (nie gęstość widmowa mocy) x(n), która jest oszacowaniem mocy zbioru składników częstotliwości x(t) na częstotliwościach k/T0 Hz.

No, późna odpowiedź wiem. Ale miałem powód, żeby zrobić coś takiego, w innym kontekście. Moje surowe dane to wartości opóźnień dla transakcji z pamięcią masową - ponownie próbkowałem je do przedziału czasowego 1ms. Więc oryginalne dane y były " opóźnieniem, w mikrosekundach."Miałem 2^18 = 262144 oryginalnych punktów danych, na krokach czasowych 1ms.

Po zrobieniu FFT, dostalem komponent 0 (DC) taki ze nastepujacy:

FFT[0] = 262144*(średnia wszystkich danych wejściowych).

Więc to wygląda na to, że FFT[0] to N*(średnia danych wejściowych). To ma sens-każdy punkt danych posiada tę średnią DC jako część tego, co jest, więc dodajesz je wszystkie.

Jeśli spojrzeć na definicję FFT to też ma sens. Wszystkie pozostałe elementy składowe wiązałyby się również z pojęciami sinus i cosinus, ale tak naprawdę FFT jest tylko podsumowaniem. Średnia jest tylko jedna, która zdarza się być obecny we wszystkich punktach jednakowo, ponieważ masz cos(0) = 1.