Podstawowa Teoria Podwójnego Konturowania

Ok. Znudziło mi się dziś i postanowiłem dać sobie szansę na dual contouring. Jak powiedziałem w komentarzach, wszystkie istotne materiały znajdują się w sekcji 2 następującego artykułu:

Http://www.frankpetterson.com/publications/dualcontour/dualcontour.pdf

W szczególności topologia siatki jest opisana w części 2.2 w następującej sekcji, cytuję:

1. Dla każdego sześcianu, który wykazuje zmianę znaku, Wygeneruj wierzchołek umieszczony na minimalizatorze funkcji kwadratowej równania 1.

2. Dla każdej krawędzi, która wykazuje zmianę znaku, generujemy kwadrat łączący minimalizujące wierzchołki czterech sześcianów zawierających krawędź.

import numpy as np
import numpy.linalg as la
import scipy.optimize as opt
import itertools as it

#Cardinal directions
dirs = [ [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] ]

#Vertices of cube
cube_verts = [ np.array([x, y, z])
    for x in range(2)
    for y in range(2)
    for z in range(2) ]

#Edges of cube
cube_edges = [ 
    [ k for (k,v) in enumerate(cube_verts) if v[i] == a and v[j] == b ]
    for a in range(2)
    for b in range(2)
    for i in range(3) 
    for j in range(3) if i != j ]

#Use non-linear root finding to compute intersection point
def estimate_hermite(f, df, v0, v1):
    t0 = opt.brentq(lambda t : f((1.-t)*v0 + t*v1), 0, 1)
    x0 = (1.-t0)*v0 + t0*v1
    return (x0, df(x0))

#Input:
# f = implicit function
# df = gradient of f
# nc = resolution
def dual_contour(f, df, nc):

    #Compute vertices
    dc_verts = []
    vindex   = {}
    for x,y,z in it.product(range(nc), range(nc), range(nc)):
        o = np.array([x,y,z])

        #Get signs for cube
        cube_signs = [ f(o+v)>0 for v in cube_verts ]

        if all(cube_signs) or not any(cube_signs):
            continue

        #Estimate hermite data
        h_data = [ estimate_hermite(f, df, o+cube_verts[e[0]], o+cube_verts[e[1]]) 
            for e in cube_edges if cube_signs[e[0]] != cube_signs[e[1]] ]

        #Solve qef to get vertex
        A = [ n for p,n in h_data ]
        b = [ np.dot(p,n) for p,n in h_data ]
        v, residue, rank, s = la.lstsq(A, b)

        #Throw out failed solutions
        if la.norm(v-o) > 2:
            continue

        #Emit one vertex per every cube that crosses
        vindex[ tuple(o) ] = len(dc_verts)
        dc_verts.append(v)

    #Construct faces
    dc_faces = []
    for x,y,z in it.product(range(nc), range(nc), range(nc)):
        if not (x,y,z) in vindex:
            continue

        #Emit one face per each edge that crosses
        o = np.array([x,y,z])   
        for i in range(3):
            for j in range(i):
                if tuple(o + dirs[i]) in vindex and tuple(o + dirs[j]) in vindex and tuple(o + dirs[i] + dirs[j]) in vindex:
                    dc_faces.append( [vindex[tuple(o)], vindex[tuple(o+dirs[i])], vindex[tuple(o+dirs[j])]] )
                    dc_faces.append( [vindex[tuple(o+dirs[i]+dirs[j])], vindex[tuple(o+dirs[j])], vindex[tuple(o+dirs[i])]] )

    return dc_verts, dc_faces

Nie jest to bardzo szybkie, ponieważ używa ogólnych, nieliniowych metod wyszukiwania korzeni SciPy, aby znaleźć punkty krawędzi na powierzchni izosurface. Wydaje się jednak, że działa dość dobrze i w dość ogólny sposób. Aby go przetestować, uruchomiłem go za pomocą następującego przypadku testowego (w mayavi2 visualization toolkit):

import enthought.mayavi.mlab as mlab

center = np.array([16,16,16])
radius = 10

def test_f(x):
    d = x-center
    return np.dot(d,d) - radius**2

def test_df(x):
    d = x-center
    return d / sqrt(np.dot(d,d))

verts, tris = dual_contour(f, df, n)

mlab.triangular_mesh( 
            [ v[0] for v in verts ],
            [ v[1] for v in verts ],
            [ v[2] for v in verts ],
            tris)

To definiuje sferę jako równanie niejawne i rozwiązuje dla 0-izosurface przez podwójne konturowanie. Kiedy uruchomiłem go w zestawie narzędzi, był to wynik: